已知在△ABC中，AB=AC=8，BC=4，点P是边AC上的一个动点，∠APD=∠ABC，AD∥BC，连接DC．（1）如图1，如果DC∥AB，求AP的长；（2）如图2，如果直线DC与边BA的延长线交于点E，设AP=x，AE=y，求y关于x的

Question

已知在△ABC中，AB=AC=8，BC=4，点P是边AC上的一个动点，∠APD=∠ABC，AD∥BC，连接DC．
（1）如图1，如果DC∥AB，求AP的长；
（2）如图2，如果直线DC与边BA的延长线交于点E，设AP=x，AE=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如图3，如果直线DC与边BA的反向延长线交于点F，连接BP，当△CPD与△CBF相似时，试判断线段BP与线段CF的数量关系，并说明你的理由．

Answer 1

（1）∵AD∥BC，
∴∠DAP=∠ACB，
∵∠APD=∠ABC，
∴△DPA∽△ABC，
∴(AP)/(BC)=(AD)/(AC)，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=4，
∵AB=AC=8，
∴(AP)/(4)=(4)/(8)，
∴AP=2；
（2）由（1）得，(AP)/(BC)=(AD)/(AC)，
∴AD=2AP，
∵AD∥BC，
∴(AD)/(BC)=(AE)/(ED)，
∵AP=x，AE=y，
∴AD=2x，EB=y+8，
∴(2x)/(4)=(y)/(y+8)，
∴y=(8x)/(2-x)，它的定义域是0<x<2；
（3）BP=(1)/(2)CF；
∵∠APD=∠ABC，
∴∠DPC=∠FBC，
∵∠PCD>∠F，又△CPD与△CBF相似，
∴∠PCD=∠BCF，
∴△CPD∽△CBF，
∴(PD)/(BF)=(CP)/(BC)，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠APD=∠ABC，∠DAP=∠ACB，
∴∠DAP=∠APD，
∴AD=PD，
设AP=x，BF=y，则AD=PD=2x，AF=y+8，
∴(2x)/(y)=(8-x)/(4)①，
∵AD∥BC，
∴(BC)/(AD)=(BF)/(AF)，
∴(4)/(2x)=(y)/(y+8)②，
由①②得：x=4，y=8，
∴AP=PC=4，AB=BF=8，
∴BP是△ACF的中位线，
∴BP=(1)/(2)CF．