已知四棱锥P-ABCD,PD垂直面ABCD,AB平行DC,AD垂直DC,AD=根2,CD=4,PD=2,E为AP上一点,DE垂直AP,F是平面DEC与BP的交点1求证EF平行AB2求证AP垂直面EFCD3求PC与面EFCD所成角的正弦值

Question

已知四棱锥P-ABCD,PD垂直面ABCD,AB平行DC,AD垂直DC,AD=根2,CD=4,PD=2,E为AP上一点,DE垂直AP,F是平面DEC与BP的交点 1求证EF平行AB 2求证AP垂直面EFCD 3求PC与面EFCD所成角的正弦值

Answer 1

第一小题忘记怎么证了,应该是由同一平面推得的.直接证第二第三小题.
2.PD垂直面ABCD,即PD垂直AB,由AB平行DC,AD垂直DC,得AB垂直AD,由这两个条件推出AB垂直面PAD,由此再推出AB垂直PA,因为第一小题推得EF平行AB,那么EF垂直PA,而ED也垂直PA,可得PA垂直面EFCD
3.PDA是直角三角形,所以算出PA=根号6,DE=2根号3/3,PE=2根号6/3,因为第二小题证得AB垂直于PAD,所以EF和CD也垂直于PAD,EDC就是直角三角形,EC=2根号13/3,因为由第二小题征得AP垂直面EFCD,故PEC为直角三角形,PC=2根号5,正弦值=PE/PC=根号30/15