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在凸n边形中,若周长一定,则当该n边形为正n边形时,面积最大,请证明
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答案和解析
貌似这个问题,用初等数学无法严格证明.
利用高等数学知识,可以给出一些思路：
1.任何n边形存在一凸n边形使之面积不小于原n边形.
2.有一个顶点在原点的凸n边形（包括退化的凸多边形)是由其他n-1个点的坐标决定.所以可以看成2n-2维空间中一点,周长一定的情况下,这些点组成的集合2n-2为空间中的一个紧集.
3.面积是这个空间中的连续函数,所以存在一点取最大值.则这个点决定的多边形面积最大.设为S.
4.若S有2相邻边不相等,则设为AB,BC.则在AC同侧有点B1有 AB1=B1C 且AB1+B1C=AB+BC,则三角形AB1C的面积>ABC的面积.则将B换为B1 得多边形S1有面积S1>面积S 则存在凸n边形S2>=S1>S与S面积最大矛盾.故S所有边相等.
5.S的每条边相等.存在S1为正n边形 与S边长相等.则S1内接与一圆O1 每段边外有一弓形 在S的每边处向外作相同的弓形得以曲边n边形O 则O,O1周长相等.由等周定理 O1的面积>=O的面积 所以 S1面积+n弓形面积>= S面积+n弓形面积,则S1面积>=S面积.故得证.
利用高等数学知识,可以给出一些思路：
1.任何n边形存在一凸n边形使之面积不小于原n边形.
2.有一个顶点在原点的凸n边形（包括退化的凸多边形)是由其他n-1个点的坐标决定.所以可以看成2n-2维空间中一点,周长一定的情况下,这些点组成的集合2n-2为空间中的一个紧集.
3.面积是这个空间中的连续函数,所以存在一点取最大值.则这个点决定的多边形面积最大.设为S.
4.若S有2相邻边不相等,则设为AB,BC.则在AC同侧有点B1有 AB1=B1C 且AB1+B1C=AB+BC,则三角形AB1C的面积>ABC的面积.则将B换为B1 得多边形S1有面积S1>面积S 则存在凸n边形S2>=S1>S与S面积最大矛盾.故S所有边相等.
5.S的每条边相等.存在S1为正n边形 与S边长相等.则S1内接与一圆O1 每段边外有一弓形 在S的每边处向外作相同的弓形得以曲边n边形O 则O,O1周长相等.由等周定理 O1的面积>=O的面积 所以 S1面积+n弓形面积>= S面积+n弓形面积,则S1面积>=S面积.故得证.
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