如图，抛物线y=a（x﹣h）2+k经过点A（0，1），且顶点坐标为B（1，2），它的对称轴与x轴交于点C．（1）求此抛物线的解析式．（2）在第一象限内的抛物线上求点P，使得△ACP是以AC为底

Question

如图，抛物线y=a（x﹣h） ² +k经过点A（0，1），且顶点坐标为B（1，2），它的对称轴与x轴交于点C．

（1）求此抛物线的解析式．
（2）在第一象限内的抛物线上求点P，使得△ACP是以AC为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标．
（3）上述点是否是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点？若是，请说明理由；若不是，请求出第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标．

Answer 1

（1）∵抛物线y=a（x﹣h） ² +k顶点坐标为B（1，2），
∴y=a（x﹣1） ² +2。
∵抛物线经过点A（0，1），∴a（0﹣1） ² +2=1，解得a=﹣1。
∴此抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1） ² +2，即y=﹣x ² +2x+1。
（2）∵A（0，1），C（1，0），∴OA=OC。
∴△OAC是等腰直角三角形。
过点O作AC的垂线l，根据等腰三角形的“三线合一”的性质知：l是AC的中垂线，
∴l与抛物线的交点即为点P。
如图，直线l的解析式为y=x，

解方程组 ，
得 或 （不合题意舍去）。
∴点P的坐标为（ ， ）。
（3）点P不是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点．
由（1）知，点C的坐标为（1，0），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
则 ，解得 。
∴直线AC的解析式为y=﹣x+1．
设与AC平行的直线的解析式为y=﹣x+m．
解方程组 ，代入消元，得﹣x ² +2x+1=﹣x+m，即x ² ﹣3x+m﹣1=0。
∵此点与AC距离最远，∴直线y=﹣x+m与抛物线有且只有一个交点。
∴方程x ² ﹣3x+m﹣1=0有两个相等的实数根。
△=9﹣4（m﹣1）=0，解之得m= 。
∴x ² ﹣3x+ ﹣1=0，解得x ₁ =x ₂ = ，此时y= 。
∴第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标为（ ， ）。