已知圆C以C（t,2/t）（t非0实数）为圆心且经过圆点O⑴直线2X+Y-4=0与圆C交于点MN,若|OM|=|ON|,求圆C的方程⑵在⑴的条件下,已知B的坐标为(0,2),设P,Q分别是直线L：X＋2Y＋2＝0和圆C上的动点,求|PB|

Question

已知圆C以C（t,2/t）（t非0实数）为圆心且经过圆点O
⑴直线2X+Y-4=0与圆C交于点M N,若 |OM|=|ON|,求圆C的方程
⑵在⑴的条件下,已知B的坐标为(0,2),设P,Q分别是直线L：X＋2Y＋2＝0和圆C上的动点,求|PB|＋|PQ|的最小值及此时点P的坐标

Answer 1

(1)∵直线2X+Y-4=0与圆C交于点M N
且|OM|=|ON|,
∴MN的垂直平分线过原点O
又 MN的垂直平分线过圆心C（t,2/t）
∴MN的垂直平分线的斜率为：k＝(2/t)/t=2/t^2

又MN所在直线方程2x+y-4=0的斜率为 -2
∴（2/t^2）*（-2）＝-1
解得：t=2 或 t=-2

∴ 点
C（2,1） 或
C（-2,-1）
∴圆C的半径为 r＝√（2^2+1^2）=√5
又圆C到直线2X+Y-4=0的距离d应为
d＜√5

即
当 C（2,1）
d=√5/5＜√5
成立

当C（-2,-1）
d＝9√5/5＞√5
舍去
∴圆C圆心为点C（2,1）
∴圆C的方程为： （x-2）^2+(y-1)^2=5
(2)根据题意 设点B（0,2）关于直线L：x＋2y＋2＝0对称的点为B1（a,b）
则有方程组：｛ a/2+b+4=0 ,
-(b-2)/(2a)=-1 }
解得: a=-12/5
, b=-14/5
∴B1（-12/5,-14/5）
则B1与圆心C的距离
d1＝（√745）/5
B1与圆心C的连线交于圆C与点Q
交与直线L：x＋2y＋2＝0于点P
由对称性知
此时|PB|＋|PQ|取得最小值
为：
（|PB|＋|PQ|）min＝B1Q＝d1-r=（√745）/5-√5
B1与圆心C的连线所在方程斜率为：k＝19/22

∴B1与圆心C的连线所在方程为L1： y-1=19(x-2)/22
联立L与L1 方程得： { x＋2y＋2＝0 , y-1=19(x-2)/22 }
解得：
x=-1/5
, y=-9/10
∴此时点P的坐标为： （-1/5,-9/10）
若有疏漏之处请谅解!
如有不懂可再问我.