在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，2），B（0，4），圆C以线段AB为直径（1）求圆C的方程；（2）设点P是圆C上与点A不重合的一点，且OP=OA，求直线PA的方程和△POA的面积．

Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，2），B（0，4），圆C以线段AB为直径
（1）求圆C的方程；
（2）设点P是圆C上与点A不重合的一点，且OP=OA，求直线PA的方程和△POA的面积．

Answer 1

（1）设圆C的圆心C（a，b），半径为r，则a=1，b=3---------（2分）
r＝AC＝√((2−1)2+(2−3)2)＝√(2)--------------------------------------------（4分）
∴圆C的方程为（x-1）²+（y-3）²=2----------------------------------------（6分）
（2）∵OP=OA，CP=CA，∴OC是线段PA的垂直平分线---------------（8分）
又OC的斜率为3，∴PA的斜率为−(1)/(3)------------------------------------------（9分）
∴直线PA的方程为y−2＝−(1)/(3)(x−2)，即x+3y-8=0-----------------（10分）
∵点O到直线PA的距离d＝(|0+0−8|)/(√(12+32))＝(4√(10))/(5)-------------------------------（11分）
OA=√(22+22)＝2√(2)…..（12分）
∴PA＝2√(OA2−d2)＝2√(8−((4√(10))/(5))2)＝(4√(10))/(5)…（13分）
∴△POA的面积=(1)/(2)PA•d＝(1)/(2)×(4√(10))/(5)×(4√(10))/(5)＝(16)/(5)…（14分）