在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且：（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sinC（1）若a=3，b=4，求|CA+CB|的值．（2）若∠C=60°，△ABC面积为3．求AB•AC+AC•CB+CB•AB的值．

Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且：（a²+b²）sin（A-B）=（a²-b²）sinC
（1）若a=3，b=4，求|

CA

+

CB|

的值．
（2）若∠C=60°，△ABC面积为√(3)．求

AB

•

AC

+

AC

•

CB

+

CB

•

AB

的值．

Answer 1

由已知有：(a2+b2)(a•(a2+c2−b2)/(2ac)−b•(b2+c2−a2)/(2bc))＝(a2−b2)•c
∴有：(a2+b2)•(2(a2−b2))/(2c)＝(a2−b2)•c
即：（a²-b²）（a²+b²-c²）=0．
（1）若a=3，b=4，则a≠b∴a²+b²=c²∴△ABC为直角三角形，∠C=90°，c=5，而|

CA

+

CB|

＝5
（2）由（1）可知（a²-b²）（a²+b²-c²）=0．又∠C=60°，则a²+b²-c²≠0，
∴a=b．∴△ABC为等边三角形，
设边长为x，则(√(3))/(4)x2＝√(3)∴x=2，
∴

AB

•

<

作业帮用户 2017-11-11

问题解析

直接利用两角差的正弦函数以及正弦定理与余弦定理化简表达式，
（1）根据a=3，b=4，判断三角形的形状，然后求出|

CA

+

CB|

的值．
（2）利用（1）的结果，结合∠C=60°，则a²+b²-c²≠0，推出a=b．△ABC为等边三角形，然后求出

AB

•

AC

+

AC

•

CB

+

CB

•

AB

的值．

名师点评

本题考点：

余弦定理的应用；两角和与差的正弦函数；三角形中的几何计算．

考点点评：

本题是中档题，考查三角函数的化简求值，正弦定理，余弦定理的应用，以及向量的数量积的应用．

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