如图所示为一名曰“堑堵”的几何体，已知AE⊥底面BCFE，DF∥AE，DF=AE=1，CE=7，四边形ABCD是正方形．（1）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，判断四面体EABC是否为鳖

Question

如图所示为一名曰“堑堵”的几何体，已知AE⊥底面BCFE，DF∥AE，DF=AE=1，CE=√(7)，四边形ABCD是正方形．

（1）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，判断四面体EABC是否为鳖臑，若是，写出其每一个面的直角，并证明；若不是，请说明理由．
（2）求四面体EABC的体积．

Answer 1

（1）∵AE⊥底面BCFE，EC，EB，BC都在底面BCFE上，
∴AE⊥EC，AE⊥EB，AE⊥BC，
∵四边形ABCD是正方形有，∴BC⊥AB，
∴BC⊥面ABE，又BE⊂面ABE，∴BC⊥BE，
∴四面体EABC是鳖臑．
（2）由（1）得AE是三棱锥A-BCE的高，
设正方形ABCD的边长为x，则AB=BC=x，BE=√(AB2-AE2)=√(x2-1)，EC=√(7)，
在Rt△BEC中，EC²=BE²+BC²，
即（√(7)）²=x²+x²-1，解得x=2，
∴S△BCE=(1)/(2)×2×√(3)=√(3)，
∴四面体EABC的体积VA-BCE=(1)/(3)•AE•S△BCE=(1)/(3)×√(3)=(√(3))/(3)．