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已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，且.（1）求椭圆C的方程；（2）过点的直线与椭圆相交于两点，且，求的面积.
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| 已知椭圆  的离心率为 ，左右焦点分别为 ，且 .（1）求椭圆C的方程； （2）过点  的直线与椭圆 相交于 两点，且 ，求 的面积. |
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答案和解析
| 已知椭圆  的离心率为 ，左右焦点分别为 ，且 .（1）求椭圆C的方程； （2）过点  的直线与椭圆 相交于 两点，且 ，求 的面积. |
| （1）  ；（2） |
| 试题分析：（1）因为要求椭圆的方程，必须求出两个关于椭圆的三个基本量  的等式，依题意可得，离心率，焦距的长即可求出相应的 的大小，从而可求出椭圆的方程.（2）要求三角形的面积通过求出弦长和焦点到直线的距离，从而根据三角形的面积可得三角形的面积.弦长公式的计算需要具备解方程的能力，应用韦达定理，弦长公式，化简等式的能力；运用点到直线的距离公式计算三角形的高. 试题解析：（1）由已知  ，所以  .因为椭圆  的离心率为 ，所以 .所以  . 所以  ，故椭圆C的方程为 .（2）若直线  的方程为 ，则 ，不符合题意.设直线 的方程为 ，由  消去y得  ， 显然  成立，设 ，则    .由已知  ，解得 .当  ，直线 的方程为 ，即 ，点  到直线 的距离 .所以 的面积   .当  ， 的面积也等于 .综上， 的面积等于 . |
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