如图1，A（-1，0）、B（1，0）是椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的长轴上两点，C，D分别为椭圆的短轴和长轴的端点，P是CD上的动点，若AP•BP的最大值与最小值分别为3、57．（1）求椭圆的离心率；（2

Question

如图1，A（-1，0）、B（1，0）是椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)的长轴上两点，C，D分别为椭圆的短轴和长轴的端点，P是CD上的动点，若

AP

•

BP

的最大值与最小值分别为3、(5)/(7)．

（1）求椭圆的离心率；
（2）如图2，点F（1，0），动点Q、R分别在抛物线y²=4x及椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)的实线部分上运动，且QR∥x轴，求△FQR的周长l的取值范围．

Answer 1

（1）设P（x₁，y₁），则

AP

＝(x1+1，y1)，

BP

＝(x1−1，y1)，
∴

AP

•

BP

＝x12+y12−1，…（2分）
∵

AP

•

BP

的最大值与最小值分别为3和(5)/(7)，
∴x₁²+y₁²的最大值与最小值分别为4、(12)/(7)，…（3分）
而x₁²+y₁²表示线段CD上的点到原点的距离OP的平方，
∴点OP的最大值为OD=2，
即a=2，…（5分）
OP的最小值即为O到线段CD的距离(2√(21))/(7)，
由平面几何知识得OC=

作业帮用户 2017-09-26

问题解析

（1）设P（x₁，y₁），则

AP

＝(x1+1，y1)，

BP

＝(x1−1，y1)，故

AP

•

BP

＝x12+y12−1，由此能求出椭圆的离心率．
（2）设R（x₀，y₀），由抛物线的定义知QF等于点Q到抛物线准线x=1的距离，故RF+QR等于点R到抛物线准线x=1的距离为x₀+1．由椭圆的第二定义知QF＝(1)/(2)(4−x0)，由此能求出△FQR的周长l的取值范围．

名师点评

本题考点：

圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．

考点点评：

本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，抛物线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．

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