双曲线C：x2-y2b2=1的右焦点为F，双曲线过定点P（2，3）．（1）求双曲线C的方程及右准线l方程；（2）过右焦点F的直线（不过P点）与双曲线交于A，B两点，记PA，PB的斜率为k1，k2：若k1+k2＞2，

Question

双曲线C：x²-(y2)/(b2)=1的右焦点为F，双曲线过定点P（2，3）．
（1）求双曲线C的方程及右准线l方程；
（2）过右焦点F的直线（不过P点）与双曲线交于A，B两点，记PA，PB的斜率为k₁，k₂：若k₁+k₂＞2，求直线AB斜率的取值范围，若直线AB与直线l交于M，记PM的斜率为k₃，若k₃=0，求k₁+k₂的值．²(y2)/(b2)=1的右焦点为F，双曲线过定点P（2，3）．
（1）求双曲线C的方程及右准线l方程；
（2）过右焦点F的直线（不过P点）与双曲线交于A，B两点，记PA，PB的斜率为k₁，k₂：若k₁+k₂＞2，求直线AB斜率的取值范围，若直线AB与直线l交于M，记PM的斜率为k₃，若k₃=0，求k₁+k₂的值．(y2)/(b2)y2y2y2y22b2b2b2b22

_12123312

Answer 1

（1）将点P（2，3）代入C：x²2-(y2)/(b2)=1，
得到4-(9)/(b2)=1，解得b²=3，
则双曲线C的方程为：x²-(y2)/(3)=1，右准线l：x=(1)/(2)；
（2）右焦点F（2，0），设直线AB：y=k（x-2），
联立直线方程和双曲线方程，得

y＝k(x−2)

3x2−y2＝3

，
消去y，得，（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=(4k2)/(k2−3)，x₁x₂=(4k2+3)/(k2−3)，
而k₁+k₂=(y1−3)/(x1−2)+(y2−3)/(x2−2)=(k(x1−2)−3)/(x1−2)+(k(x2−2)−3)/(x2−2)=2k-3（(1)/(x1−2)+(1)/(x2−2)）
=2k-3•

x<

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问题解析

（1）将点P代入双曲线方程，即可得到双曲线方程，从而求出右准线方程；
（2）设出直线AB的方程，联立直线方程和双曲线方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理，由直线的斜率公式，化简整理得到k₁+k₂=2k+4，由k₁+k₂＞2，即可得到k的范围；先求M的坐标，再由k₃=0，得到k，从而得到答案．

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本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：

本题考查双曲线的方程和性质，考查联立直线方程和双曲线方程，消去未知数，运用韦达定理，同时考查直线的斜率公式，以及直线方程和交点问题，考查运算化简能力，属于综合题．

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(y2)/(b2)y2y2y22b2b2b22=1，
得到4-(9)/(b2)=1，解得b²=3，
则双曲线C的方程为：x²-(y2)/(3)=1，右准线l：x=(1)/(2)；
（2）右焦点F（2，0），设直线AB：y=k（x-2），
联立直线方程和双曲线方程，得

y＝k(x−2)

3x2−y2＝3

，
消去y，得，（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=(4k2)/(k2−3)，x₁x₂=(4k2+3)/(k2−3)，
而k₁+k₂=(y1−3)/(x1−2)+(y2−3)/(x2−2)=(k(x1−2)−3)/(x1−2)+(k(x2−2)−3)/(x2−2)=2k-3（(1)/(x1−2)+(1)/(x2−2)）
=2k-3•

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（1）将点P代入双曲线方程，即可得到双曲线方程，从而求出右准线方程；
（2）设出直线AB的方程，联立直线方程和双曲线方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理，由直线的斜率公式，化简整理得到k₁+k₂=2k+4，由k₁+k₂＞2，即可得到k的范围；先求M的坐标，再由k₃=0，得到k，从而得到答案．

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(9)/(b2)999b2b2b22=1，解得b²2=3，
则双曲线C的方程为：x²2-(y2)/(3)=1，右准线l：x=(1)/(2)；
（2）右焦点F（2，0），设直线AB：y=k（x-2），
联立直线方程和双曲线方程，得

y＝k(x−2)

3x2−y2＝3

，
消去y，得，（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=(4k2)/(k2−3)，x₁x₂=(4k2+3)/(k2−3)，
而k₁+k₂=(y1−3)/(x1−2)+(y2−3)/(x2−2)=(k(x1−2)−3)/(x1−2)+(k(x2−2)−3)/(x2−2)=2k-3（(1)/(x1−2)+(1)/(x2−2)）
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（1）将点P代入双曲线方程，即可得到双曲线方程，从而求出右准线方程；
（2）设出直线AB的方程，联立直线方程和双曲线方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理，由直线的斜率公式，化简整理得到k₁+k₂=2k+4，由k₁+k₂＞2，即可得到k的范围；先求M的坐标，再由k₃=0，得到k，从而得到答案．

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直线与圆锥曲线的综合问题．

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(y2)/(3)y2y2y22333=1，右准线l：x=(1)/(2)；
（2）右焦点F（2，0），设直线AB：y=k（x-2），
联立直线方程和双曲线方程，得

y＝k(x−2)

3x2−y2＝3

，
消去y，得，（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=(4k2)/(k2−3)，x₁x₂=(4k2+3)/(k2−3)，
而k₁+k₂=(y1−3)/(x1−2)+(y2−3)/(x2−2)=(k(x1−2)−3)/(x1−2)+(k(x2−2)−3)/(x2−2)=2k-3（(1)/(x1−2)+(1)/(x2−2)）
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（1）将点P代入双曲线方程，即可得到双曲线方程，从而求出右准线方程；
（2）设出直线AB的方程，联立直线方程和双曲线方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理，由直线的斜率公式，化简整理得到k₁+k₂=2k+4，由k₁+k₂＞2，即可得到k的范围；先求M的坐标，再由k₃=0，得到k，从而得到答案．

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本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题．

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本题考查双曲线的方程和性质，考查联立直线方程和双曲线方程，消去未知数，运用韦达定理，同时考查直线的斜率公式，以及直线方程和交点问题，考查运算化简能力，属于综合题．

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(1)/(2)111222；
（2）右焦点F（2，0），设直线AB：y=k（x-2），
联立直线方程和双曲线方程，得

y＝k(x−2)

3x2−y2＝3

，
消去y，得，（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=(4k2)/(k2−3)，x₁x₂=(4k2+3)/(k2−3)，
而k₁+k₂=(y1−3)/(x1−2)+(y2−3)/(x2−2)=(k(x1−2)−3)/(x1−2)+(k(x2−2)−3)/(x2−2)=2k-3（(1)/(x1−2)+(1)/(x2−2)）
=2k-3•

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（1）将点P代入双曲线方程，即可得到双曲线方程，从而求出右准线方程；
（2）设出直线AB的方程，联立直线方程和双曲线方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理，由直线的斜率公式，化简整理得到k₁+k₂=2k+4，由k₁+k₂＞2，即可得到k的范围；先求M的坐标，再由k₃=0，得到k，从而得到答案．

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直线与圆锥曲线的综合问题．

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y＝k(x−2)

3x2−y2＝3

y＝k(x−2)

3x2−y2＝3

y＝k(x−2)

3x2−y2＝3

y＝k(x−2)

3x2−y2＝3

y＝k(x−2)y＝k(x−2)y＝k(x−2)3x2−y2＝33x2−y2＝33x2−y2＝32−y2＝32＝3，
消去y，得，（3-k²2）x²2+4k²2x-4k²2-3=0，
设A（x₁1，y₁1），B（x₂2，y₂2），
即有x₁1+x₂2=(4k2)/(k2−3)，x₁x₂=(4k2+3)/(k2−3)，
而k₁+k₂=(y1−3)/(x1−2)+(y2−3)/(x2−2)=(k(x1−2)−3)/(x1−2)+(k(x2−2)−3)/(x2−2)=2k-3（(1)/(x1−2)+(1)/(x2−2)）
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（1）将点P代入双曲线方程，即可得到双曲线方程，从而求出右准线方程；
（2）设出直线AB的方程，联立直线方程和双曲线方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理，由直线的斜率公式，化简整理得到k₁+k₂=2k+4，由k₁+k₂＞2，即可得到k的范围；先求M的坐标，再由k₃=0，得到k，从而得到答案．

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(4k2)/(k2−3)4k24k24k22k2−3k2−3k2−32−3，x₁1x₂2=(4k2+3)/(k2−3)，
而k₁+k₂=(y1−3)/(x1−2)+(y2−3)/(x2−2)=(k(x1−2)−3)/(x1−2)+(k(x2−2)−3)/(x2−2)=2k-3（(1)/(x1−2)+(1)/(x2−2)）
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（1）将点P代入双曲线方程，即可得到双曲线方程，从而求出右准线方程；
（2）设出直线AB的方程，联立直线方程和双曲线方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理，由直线的斜率公式，化简整理得到k₁+k₂=2k+4，由k₁+k₂＞2，即可得到k的范围；先求M的坐标，再由k₃=0，得到k，从而得到答案．

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(4k2+3)/(k2−3)4k2+34k2+34k2+32+3k2−3k2−3k2−32−3，
而k₁1+k₂2=(y1−3)/(x1−2)+(y2−3)/(x2−2)=(k(x1−2)−3)/(x1−2)+(k(x2−2)−3)/(x2−2)=2k-3（(1)/(x1−2)+(1)/(x2−2)）
=2k-3•

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（1）将点P代入双曲线方程，即可得到双曲线方程，从而求出右准线方程；
（2）设出直线AB的方程，联立直线方程和双曲线方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理，由直线的斜率公式，化简整理得到k₁+k₂=2k+4，由k₁+k₂＞2，即可得到k的范围；先求M的坐标，再由k₃=0，得到k，从而得到答案．

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直线与圆锥曲线的综合问题．

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(y1−3)/(x1−2)y1−3y1−3y1−31−3x1−2x1−2x1−21−2+(y2−3)/(x2−2)=(k(x1−2)−3)/(x1−2)+(k(x2−2)−3)/(x2−2)=2k-3（(1)/(x1−2)+(1)/(x2−2)）
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（2）设出直线AB的方程，联立直线方程和双曲线方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理，由直线的斜率公式，化简整理得到k₁+k₂=2k+4，由k₁+k₂＞2，即可得到k的范围；先求M的坐标，再由k₃=0，得到k，从而得到答案．

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(y2−3)/(x2−2)y2−3y2−3y2−32−3x2−2x2−2x2−22−2=(k(x1−2)−3)/(x1−2)+(k(x2−2)−3)/(x2−2)=2k-3（(1)/(x1−2)+(1)/(x2−2)）
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（2）设出直线AB的方程，联立直线方程和双曲线方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理，由直线的斜率公式，化简整理得到k₁+k₂=2k+4，由k₁+k₂＞2，即可得到k的范围；先求M的坐标，再由k₃=0，得到k，从而得到答案．

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(k(x1−2)−3)/(x1−2)k(x1−2)−3k(x1−2)−3k(x1−2)−31−2)−3x1−2x1−2x1−21−2+(k(x2−2)−3)/(x2−2)=2k-3（(1)/(x1−2)+(1)/(x2−2)）
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(k(x2−2)−3)/(x2−2)k(x2−2)−3k(x2−2)−3k(x2−2)−32−2)−3x2−2x2−2x2−22−2=2k-3（(1)/(x1−2)+(1)/(x2−2)）
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（2）设出直线AB的方程，联立直线方程和双曲线方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理，由直线的斜率公式，化简整理得到k₁+k₂=2k+4，由k₁+k₂＞2，即可得到k的范围；先求M的坐标，再由k₃=0，得到k，从而得到答案．

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(1)/(x1−2)111x1−2x1−2x1−21−2+(1)/(x2−2)111x2−2x2−2x2−22−2）
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（2）设出直线AB的方程，联立直线方程和双曲线方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理，由直线的斜率公式，化简整理得到k₁+k₂=2k+4，由k₁+k₂＞2，即可得到k的范围；先求M的坐标，再由k₃=0，得到k，从而得到答案．

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（1）将点P代入双曲线方程，即可得到双曲线方程，从而求出右准线方程；
（2）设出直线AB的方程，联立直线方程和双曲线方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理，由直线的斜率公式，化简整理得到k₁+k₂=2k+4，由k₁+k₂＞2，即可得到k的范围；先求M的坐标，再由k₃=0，得到k，从而得到答案．

（1）将点P代入双曲线方程，即可得到双曲线方程，从而求出右准线方程；
（2）设出直线AB的方程，联立直线方程和双曲线方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理，由直线的斜率公式，化简整理得到k₁1+k₂2=2k+4，由k₁1+k₂2＞2，即可得到k的范围；先求M的坐标，再由k₃3=0，得到k，从而得到答案．

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直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：

本题考查双曲线的方程和性质，考查联立直线方程和双曲线方程，消去未知数，运用韦达定理，同时考查直线的斜率公式，以及直线方程和交点问题，考查运算化简能力，属于综合题．

考点点评：

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考点点评：

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