二项式定理(1+x)+(1+x)^2+……+(1+x)^n=a0+a1+a2+……an若a1+a2+……a(n-1)=509-n,求n注意:a(n-1)中的(n-1)与an中的n都是角标

Question

二项式定理
(1+x)+(1+x)^2+……+(1+x)^n=a0+a1+a2+……an
若a1+a2+……a(n-1)=509-n,求n
注意:a(n-1)中的(n-1)与an中的n都是角标

Answer 1

题目中的式子是不是：
(1+x)+(1+x)^2+……+(1+x)^n=a0+a1*x+a2*x^2+…… an*x^n呀?
如果是,令x=1,得到：
2＋2^2+2^3+...+2^n=a0+a1+a2+...+an
很容易看出,只有(1+x)^n对x^n有贡献,也就是an=1
所以：
2^(n+1)-2-1=509-n
这个方程没有整数解.如果改成a1+a2+……a(n-1)=509
那么,2^9=512,n=8满足条件.
其实,这是一个等比数列,和为：
(（1+x)^(n+1)-(1+x))/x
=x^n+C(n+1,n)x^(n-1)+...+C(n+1,k+1)x^k+...+C(n+1,2)x+C(n+1,1)-1
系数：
a(n-1)+...+a1=C(n+1,n)+...+C(n+1,1)-1
=C(n+1,n+1)+...+C(n+1,1)+C(n+1,0)-C(n+1,n+1)-C(n+1,0)-1
=2^（n＋1）-3
一般的x^k系数为：
C(k,k)+C(k+1,k)+...+C(n,k)
所以：
C(k,k)+C(k+1,k)+...+C(n,k)＝C(n+1,k+1)