已知数列{an}是等差数列，且满足：a1+a2+a3=6，a5=5；数列{bn}满足：bn-bn-1=an-1（n≥2，n∈N﹡），b1=1．（Ⅰ）求an和bn；（Ⅱ）记数列cn=1bn+2n（n∈N*），若{cn}的前n项和为Tn，求Tn．

Question

已知数列{a_n}是等差数列，且满足：a₁+a₂+a₃=6，a₅=5；数列{b_n}满足：b_n-b_n-1=a_n-1（n≥2，n∈N﹡），b₁=1．
（Ⅰ）求a_n和b_n；
（Ⅱ）记数列c_n=(1)/(bn+2n)（n∈N^*），若{c_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

（Ⅰ）∵a₁+a₂+a₃=6，a₅=5；，∴

3a1+3d＝6

a1+4d＝5

可得a₁=1，d=1，…（2分）
∴a_n=n    （3分）
又b_n-b_n-1=a_n-1=n-1，（n≥2，n∈N^*），b₁=1，
∴当n≥2时，
b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=（n-1）+（n-2）+（n-3）+…+（2-1）+1
=(n(n−1))/(2)+1
=(n2−n+2)/(2)，…（4分）
又b₁=1适合上式，…（5分）
∴b_n=(n2−n+2)/(2)． …（6分）
（Ⅱ）∵c_n=(1)/(bn+2n)=(2)/(n2+3n+2)=(2)/((n+1)(n+2))=2((1)/(n+1)−(1)/(n+2))，…（8分）
∴T_n=2((1)/(2)−(1)/(3))+2((1)/(3)−(1)/(4))+2((1)/(4)−(1)/(5))+…+2((1)/(n+1)−(1)/(n+2))
=2((1)/(2)−(1)/(n+2))=1-(2)/(n+2)=(n)/(n+2)．…（12分）