已知数列{an}中，a1=1，且an＝nn−1an−1+2n•3n−2（n≥2，n∈N*）．（I）求a2，a3的值及数列{an}的通项公式；（II）令bn＝3n−1an(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Sn，试比较S2n与n的大小；（III）令cn＝a

Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，且an＝(n)/(n−1)an−1+2n•3n−2（n≥2，n∈N^*）．
（I）求a₂，a₃的值及数列{a_n}的通项公式；
（II）令bn＝(3n−1)/(an)(n∈N*)，数列{b_n}的前n项和为S_n，试比较S2n与n的大小；
（III）令cn＝(an+1)/(n+1)(n∈N*)，数列{(2cn)/((cn−1)2)}的前n项和为T_n，求证：对任意n∈N^*，都有T_n＜2．

Answer 1

（I）当n=2时，a2＝(2)/(2−1)a2−1+2•2•32−2＝2+4＝6，
当n=3时，a3＝(3)/(3−1)a3−1+2•3•33−2＝9+18＝27．
因为an＝(n)/(n−1)an−1+2n•3n−2，所以(an)/(n)＝(an−1)/(n−1)+2•3n−2．
当n≥2时，由累加法得(an)/(n)−(a1)/(1)＝2+2×3+2×32+…+2×3n−2，
因为a₁=1，所以n≥2时，有(an)/(n)＝1+(2(1−3n−1))/(1−3)＝3n−1，即an＝n•3n−1(n≥2)．
又n=1时，a1＝1•31−1＝1，
故an＝n•3n−1(n∈N*)．
（II）n∈N*时，bn＝(3n−1)/(an)＝(1)/(n)，则S2n＝1+(1)/(2)+(1)/(3)+…+(1)/(2n)．
记函数f(n)＝S2n−n＝(1+(1)/(2)+(1)/(3)+…+(1)/(2n))−n，
所以f(n+1)＝(1+(1)/(2)+(1)/(3)+…+

作业帮用户 2017-09-21 举报

问题解析

（I）代入n=2，n=3即可求得a₂，a₃的值；递推式两边同除以n得(an)/(n)＝(an−1)/(n−1)+2•3n−2．利用累加法可得
(an)/(n)，从而得a_n，注意检验n=1时的情形；
（II）先由（Ⅰ）求出b_n，令f（n）=S2n-n，通过作差可比较f（n+1）与f（n）的大小，从而得知f（n）的单调性，易比较n=1、2、3时f（n）与n的大小，结合其单调性可得结论；
（III）由（Ⅰ）易求c_n，(2cn)/((cn−1)2)，对(2cn)/((cn−1)2)进行放大后裂项，则可用裂项相消法求得T_n，进而可得结论；

名师点评

本题考点：

数列递推式；数列的应用；数列的求和．

考点点评：

本题考查利用数列递推式求通项公式、数列求和、综合应用数列解决问题，考查学生解决问题的能力．

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