已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，过曲线y=f（x）上的点P（1，f（1））的切线方程为y=3x+1．（Ⅰ）若y=f（x）在x=-2时有极值，求y=f（x）表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求y=f（x）在[-3，1]的最大值

Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，过曲线y=f（x）上的点P（1，f（1））的切线方程为y=3x+1．
（Ⅰ）若y=f（x）在x=-2时有极值，求y=f（x）表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求y=f（x）在[-3，1]的最大值；
（Ⅲ）若函数y=f（x）在[-1，0]上单调递减，求实数b的取值范围．

Answer 1

（I）由f（x）=x³+ax²+bx+c，得f'（x）=3x²+2ax+b
由题知

f′(1)＝3

3×1+1＝f(1)

f′(−2)＝0

⇒

2a+b+3＝3

4＝1+a+b+c

12−4a+b＝0

⇒

a＝2

b＝−4

c＝5

所以f（x）=x³+2x²-4x+5
（II）f'（x）=3x²+2ax+b=3x²+4x-4=（3x-2）（x+2），则x、f'（x）、f（x）的关系如下表．

x	-3	（-3，-2）	-2	(−2， (2)/(3))	(2)/(3)	((2)/(3)， 1)	1
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	8	↑	极大	↓	极小	↑	4

∵f（x）_极大=f（-2）=13，f（-3）=8，f（1）=4
∴f（x）在[-3，1]的最大值为13
（III）由题意知，f′（x）≤≤0在[-1，0]上恒成立，
由（I）知即f'（x）=3x²+-bx+b=3x²+b≤0在[-1，0]上恒成立，
利用二次函数的性质，有

作业帮用户 2017-09-21

问题解析

（I）根据导数的几何意义及函数在极值点处的导数为0得到方程组，求出a，b，c的值．
（II）求出导函数，列出x、f'（x）、f（x）的关系表，由表求出函数的最大值．
（III）根据函数y=f（x）在[-1，0]上单调递减，令f′（x）≤≤0在[-1，0]上恒成立，利用二次函数的性质得到

f′(−1)＝2b+3≤0

f′(0)＝b≤0

，求出b的范围．

名师点评

本题考点：

利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．

考点点评：

本题考查利用函数的导数解决曲线的切线斜率问题；利用导数求函数的单调性问题及利用导数求函数的最值、极值问题．

扫描下载二维码

©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议