将f（x）=2xarctanx-ln（x2+1）+1展成x的幂极数．

Question

将f（x）=2xarctanx-ln（x²+1）+1展成x的幂极数．

Answer 1

因为：f′(x)＝2arctanx+(2x)/(x2+1)−(2x)/(x2+1)＝2arctanx，
故：f″(x)＝(2)/(x2+1)＝2

∞

n＝0

(−1)nx2n，x∈（-1，1），
所以：f′(x)＝f′(x)−f′(0)＝

∫

x 0

f″(t)dt＝2

∞

n＝0

(−1)n

∫

x 0

t2ndt＝2

∞

n＝0

((−1)n)/(2n+1)x2n+1，x∈（-1，1），
而：f(x)−1＝f(x)−f(0)＝

∫

x 0

f′(t)dt＝2

∞

n＝0

((−1)n)/(2n+1)

∫

x 0

t2n+1dt＝2

∞

n＝0

((−1)n)/((2n+1)(2n+2))x2n+2，x∈（-1，1），
故有：f(x)＝1+2

∞

n＝0

((−1)n)/((2n+1)(2n+2))x2n+2＝1+2

∞

n＝1

((−1)n)/(2n(2n−1))x2n，x∈（-1，1），
当x=±1时，级数2

∞

n＝1

((−1)n)/(2n(2n−1))x2n绝对收敛，
从而知