关于泰勒展式的一个问题.f(x)在[0,1]上二阶可导,f(0)=f(1)=0,min[f(x)]=-1(0≤x≤1).求证min[f''(x)]≤1/8.裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》（第二版）第245页。

Question

关于泰勒展式的一个问题.
f(x)在[0,1]上二阶可导,f(0)=f(1)=0,min[f(x)]=-1 (0≤x≤1).
求证 min[f''(x)] ≤ 1/8.
裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》（第二版）第245页。

Answer 1

证明：
f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f(1)=0,min[f(x)] = - 1
∴ 最小值在 (0,1) 内取得,即存在 a ∈（0,1）使 f(a) = -1,且 f ‘(a)=0
将f(0),f(1)分别应用x=a处给出一阶Taylor展开：
f(0) = f(a) + f ‘(a) a + f ‘'(ξ) a² /2 = -1 + f ‘'(ξ) a² /2 （0