求极限 lim（x趋近于0）（sinx/x）的（1/1-cosx）次方 的极限?

Question

求极限 lim（x趋近于0）（sinx/x）的（1/1-cosx）次方 的极限?

Answer 1

lim（x趋近于0）（sinx/x）的（1/1-cosx）次方
= lim（x趋近于0）（1+sinx/x -1）的（1/1-cosx）次方
=e的{ lim（x趋近于0）（sinx/x-1）×【1/（1-cosx）】次方}
下解
lim（x趋近于0）（sinx/x-1）×【1/（1-cosx）】
= lim（x趋近于0）（sinx-x)/x（1-cosx）】
= lim（x趋近于0）（sinx-x)/(x*x²/2) （等价代换）
=2 lim（x趋近于0）（sinx-x)/x³
=2 lim（x趋近于0）（cosx-1)/3x²
=2 lim（x趋近于0）（-x²/2)/3x²
=-1/3
所以
原式=e的（-1/3）次方.可这样表示：e^(-1/3)