已知复数z1=i（1-i）3．（1）求argz1及|z1|；（2）当复数z满足|z|=1，求|z-z1|的最大值．

Question

₁³
_11
1

Answer 1

（1）z₁1=i（1-i）³3=2-2i，
将z₁1化为三角形式，得z1＝2√(2)(cos(7π)/(4)+isin(7π)/(4))，
∴argz1＝(7π)/(4)，|z1|＝2√(2)．
（2）设z=cosα+isinα，
则z-z₁=（cosα-2）+（sinα+2）i，|z-z₁|²=（cosα-2）²+（sinα+2）²=9+4√(2)sin（α−(π)/(4)），
当sin（α−(π)/(4)）=1时，|z-z₁|²取得最大值9+4√(2)．
从而得到|z-z₁|的最大值为2√(2)+1． z1＝2√(2)(cos(7π)/(4)+isin(7π)/(4))，
∴argz1＝(7π)/(4)，|z1|＝2√(2)．
（2）设z=cosα+isinα，
则z-z₁=（cosα-2）+（sinα+2）i，|z-z₁|²=（cosα-2）²+（sinα+2）²=9+4√(2)sin（α−(π)/(4)），
当sin（α−(π)/(4)）=1时，|z-z₁|²取得最大值9+4√(2)．
从而得到|z-z₁|的最大值为2√(2)+1． 1＝2√(2)

2

22(cos(7π)/(4)7π7π7π444+isin(7π)/(4)7π7π7π444)，
∴argz1＝(7π)/(4)，|z1|＝2√(2)．
（2）设z=cosα+isinα，
则z-z₁=（cosα-2）+（sinα+2）i，|z-z₁|²=（cosα-2）²+（sinα+2）²=9+4√(2)sin（α−(π)/(4)），
当sin（α−(π)/(4)）=1时，|z-z₁|²取得最大值9+4√(2)．
从而得到|z-z₁|的最大值为2√(2)+1． argz1＝(7π)/(4)，|z1|＝2√(2)．
（2）设z=cosα+isinα，
则z-z₁=（cosα-2）+（sinα+2）i，|z-z₁|²=（cosα-2）²+（sinα+2）²=9+4√(2)sin（α−(π)/(4)），
当sin（α−(π)/(4)）=1时，|z-z₁|²取得最大值9+4√(2)．
从而得到|z-z₁|的最大值为2√(2)+1． 1＝(7π)/(4)7π7π7π444，|z1|＝2√(2)．
（2）设z=cosα+isinα，
则z-z₁=（cosα-2）+（sinα+2）i，|z-z₁|²=（cosα-2）²+（sinα+2）²=9+4√(2)sin（α−(π)/(4)），
当sin（α−(π)/(4)）=1时，|z-z₁|²取得最大值9+4√(2)．
从而得到|z-z₁|的最大值为2√(2)+1． |z1|＝2√(2)．
（2）设z=cosα+isinα，
则z-z₁=（cosα-2）+（sinα+2）i，|z-z₁|²=（cosα-2）²+（sinα+2）²=9+4√(2)sin（α−(π)/(4)），
当sin（α−(π)/(4)）=1时，|z-z₁|²取得最大值9+4√(2)．
从而得到|z-z₁|的最大值为2√(2)+1． 1|＝2√(2)

2

22．
（2）设z=cosα+isinα，
则z-z₁1=（cosα-2）+（sinα+2）i，|z-z₁1|²2=（cosα-2）²2+（sinα+2）²2=9+4√(2)sin（α−(π)/(4)），
当sin（α−(π)/(4)）=1时，|z-z₁|²取得最大值9+4√(2)．
从而得到|z-z₁|的最大值为2√(2)+1． 9+4√(2)

2

22sin（α−(π)/(4)），
当sin（α−(π)/(4)）=1时，|z-z₁|²取得最大值9+4√(2)．
从而得到|z-z₁|的最大值为2√(2)+1． α−(π)/(4)πππ444），
当sin（α−(π)/(4)）=1时，|z-z₁|²取得最大值9+4√(2)．
从而得到|z-z₁|的最大值为2√(2)+1． α−(π)/(4)πππ444）=1时，|z-z₁1|²2取得最大值9+4√(2)．
从而得到|z-z₁|的最大值为2√(2)+1． 9+4√(2)

2

22．
从而得到|z-z₁1|的最大值为2√(2)+1． 2√(2)

2

22+1．