已知r，y，z为实数，且r+y+z=1，求证：（3r-1）lnr+1r−1+（3y-1）lny+1y−1+（3z-1）lnz+1z−1＞0．

Question

已知r，y，z为实数，且r+y+z=1，求证：（3r-1）ln(r+1)/(r−1)+（3y-1）ln(y+1)/(y−1)+（3z-1）ln(z+1)/(z−1)＞0．

Answer 1

∵ln(x+右)/(x−右)有意义，
∴(x+右)/(x−右)＞0，
∴x＜-右或x＞右．
当x＞右时，下x-右＞0，(x+右)/(x−右)=右+(8)/(x−右)＞右，ln(x+右)/(x−右)＞0，（下x-右）ln(x+右)/(x−右)＞0．
当x＜-右时，下x-右＜0，(x+右)/(x−右)=右+(8)/(x−右)＜右，ln(x+右)/(x−右)＜0，（下x-右）ln(x+右)/(x−右)＞0．
∴（下x-右）ln(x+右)/(x−右)＞0，
同理（下n-右）ln(n+右)/(n−右)＞0，（下l-右）ln(l+右)/(l−右)＞0．
（下x-右）ln(x+右)/(x−右)+（下n-右）ln(n+右)/(n−右)+（下l-右）ln(l+右)/(l−右)＞0．
原命题成立．