在锐角三角形ABC中,叫A,B,C的对边分别是a,b,c,且B=π/3,求2sin^2A+cos(A-C)的取值范围.

Question

在锐角三角形ABC中,叫A,B,C的对边分别是a,b,c,且B=π/3,求2sin^2A+cos(A-C)的取值范围.

Answer 1

[1]
∵2sin²A=1-cos2A
∴原式
X=cos(A-C)-cos2A+1
=1-2sin[(3A-C)/2]sin[-(A+C)/2] (和差化积)
=1+(√3)sin[(3A-C)/2] (∵B=60º, A+C=120º)
=1+(√3)sin[180º-2C], (∵A+C=120º, ∴A=120º-C)
=1+(√3)sin(2C).
∴原式
X=1+(√3)sin2C.
[[2]]
∵0º＜C＜90º, (三角形ABC为锐角三角形)
∴0º＜2C＜180º
∴0＜sin2C≤1
∴1＜1+(√3)sin2C≤1+√3
∴原式的取值范围是
(1, 1+√3]