设函数f(x)的定义域为R,若有f(π/2)=0,f(π)=-1且对任意x1,x2都有:f(x1)+f(x2)=2f[(x1+x2)/2]f[(x1-x2)/2]成立.(1)求f(0)(2)求证f(x)是偶函数,且f(π-x)=-f(x)(3)若-π/2

Question

设函数f(x)的定义域为R,若有f(π/2)=0,f(π)=-1且对任意x1,x2都有:f(x1)+f(x2)=2f[(x1+x2)/2]f[(x1-x2)/2]成立.(1)求f(0) (2)求证f(x)是偶函数,且f(π-x)=-f(x) (3)若-π/2

Answer 1

1)令x1=x2=π,由f(x1)+f(x2)=2f[(x1+x2)/2]f[(x1-x2)/2]
得到2f(π)=2f(π)*f(0) 得到f(0)=1
2）令x1=X,x2=-X
则f(X)+f(-X)=2f(0)f(X）
又f(0)=1
f(X)=f(-X)
即f(x)是偶函数
令x1=π-x,x2=x
则f(π-x)+f(x)=2f（π/2）*f[(x1-x2)/2] =0
所以f(π-x)=-f(x)
3） 不妨设00
所以f(x1)-f(x2)=-2f[π/2-(x1-x2)/2]f[(x1+x2-π)/2]f(x2)
证毕