已知向量a,b,c满足|a|=1,|a-b|=|b|,(a-c)(b-c)=0.若对每一确定的b,|c|的最大值和最小值分别为m,n,则对任意b,m-n的最小值是A 1/4 B 1/2 C 3/4 D 1

Question

已知向量a,b,c满足|a|=1,|a-b|=|b|,(a-c)(b-c)=0.若对每一确定的b,|c|的最大值和最小值分别为m,n,则对任意b,m-n的最小值是
A 1/4 B 1/2 C 3/4 D 1

Answer 1

对|a-b|=|b|两边平方得：
a^2=2ab
a=2b
将(a-c)(b-c)=0展开得:
ab-ac-bc+c^2=0
即：（a^2)/2-c(a+b)+c^2=0
上式为关于c的一元二次方程,由韦达定理：
m+n=a+b
mn=1/2
（m-n）^2=(a+b)^2-4*(1/2)=a^2+2ab+b^2-2
因为a^2+2ab=1+a^2=2
所以（m-n）^2=b^2
m-n=|b|
由a=2b
则：|a|=2|b|
因为|a|=1
所以
m-n=|b|=1/2