关于x的方程x^2+a^2(b-m+mx)^2=a^2对任意实数m恒有解,求a,b满足的关系式＝?

Question

关于x的方程x^2+a^2(b-m+mx)^2=a^2对任意实数m恒有解,求a,b满足的关系式＝?

Answer 1

将原方程整理得
(a^2m^2+1)x^2+2ma^2(b-m)x+a^2[(b-m)^2-1]=0
由于a^2m^2+1＞0,因此原方程为关于x的一元二次方程,
因为关于原方程对任意实数m恒有解,且a^2m^2+1＞0
所以必须满足判别式Δ(x)=[2ma^2(b-m)]^2-4a^2(a^2m^2+1) [(b-m)^2-1]≥0恒成立,
整理,得
a^2[(a^2-1)m^2+2bm-b^2+1]≥0 ①
现在将上式视为未知数为m的不等式,对上式系数进行讨论：
1）若a＝0,则上式恒成立,满足条件；
2）若a≠0,但a^2-1=0,那么①式可化为2bm-b^2+1≥0,此时当且仅当b=0时,①式化为1≥0,此式恒成立,满足条件；
3）若a≠0且a^2-1≠0时,①式可化为(a^2-1)m^2+2bm-b^2+1≥0,
要使该式恒成立,只有a^2-1＞0且关于m的辨别式
Δ(m)=(2b)^2-4(a^2-1)(-b^2+1)≤0
化简,得 a^2-1＞0且a^2b^2-（a^2-1）≤0
即 （a^2-1）/ a^2≥b^2
综上所述,关于x的方程x^2+a^2(b-m+mx)^2=a^2对任意实数m恒有解,a,b的关系必须满足下列条件之一：
（1）a=0,b为任意实数；
（2）a=±1,b=0；
（3）（a^2-1）/ a^2≥b^2且a(a^2-1)≠0.
解答完毕,希望能够看明白.