共线向量定理平面内有向量OA=(1,7),OB=(5,1),OP=(2,1),点X是直线OP上的一个动点.(1)当向量XA*XB取得最小值时,求向量OX的坐标(2)当点X满足(1)的条件和结论时,求角AXB的余弦值为什么XA*XB=(1-2m)(5-2m)=(7-m)(1

Question

共线向量定理
平面内有向量OA=(1,7),OB=(5,1),OP=(2,1),点X是直线OP上的一个动点.
(1)当向量XA*XB取得最小值时,求向量OX的坐标
(2)当点X满足(1)的条件和结论时,求角AXB的余弦值
为什么XA*XB=(1-2m)(5-2m)=(7-m)(1-m)

Answer 1

点X在OP上,不妨设X的坐标是(2m,m)
则XA=(1-2m,7-m),XB=(5-2m,1-m)
XA*XB
=(1-2m)(5-2m)+(7-m)(1-m)
=(5-12m+4m²)+(7-8m+m²)
=5m²-20m+12
=5(m-2)²-8
当m=2时XA*XB取得最小值,此时X的坐标是(4,2),OX=(4,2)
XA=(-3,5),XB=(1,-1)
|XA|=根号((-3)²+5²)=根号34
|XB|=根号(1²+(-1)²)=根号2
cos角AXB=XA*XB/(|XA|*|XB|)=-8/(根号34*根号2)=-4(根号17)/17