如图，正四面体ABCD的顶点A、B、C分别在两两垂直的三条射线Ox、Oy、Oz上，给出下列四个命题：①多面体O-ABC是正三棱锥；②直线OB∥平面ACD；③直线AD与OB所成的角为45°；④二面角D-OB-A为45°

Question

如图，正四面体ABCD的顶点A、B、C分别在两两垂直的三条射线Ox、Oy、Oz上，给出下列四个命题：
①多面体O-ABC是正三棱锥；
②直线OB ∥ 平面ACD；
③直线AD与OB所成的角为45°；
④二面角D-OB-A为45°．
其中真命题有______（写出所有真命题的序号）．

Answer 1

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①如图ABCD为正四面体，
∴△ABC为等边三角形，
又∵OA、OB、OC两两垂直，
∴OA⊥面OBC，∴OA⊥BC，
过O作底面ABC的垂线，垂足为N，
连接AN交BC于M，


由三垂线定理可知BC⊥AM，
∴M为BC中点，
同理可证，连接CN交AB于P，则P为AB中点，
∴N为底面△ABC中心，
∴O-ABC是正三棱锥，故A正确．
②将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示，显然OB与平面ACD不平行．
则②不正确，
③直线AD与OB所成的角为45°；
④二面角D-OB-A为45°．
命题③④显然成立．
故答案为：①③④．