已知两条射线OA、OB的方程分别为：y=√3x和y=-√3x (x＞0) ,动点P在∠AOB的内部,过点P分别做PM⊥OA、PN⊥OB,垂足分别为M、N,如果M、N分别在两条射线OA、OB上,且四边形OMPN的面积等于√3,求动点P的轨

Question

已知两条射线OA、OB的方程分别为：y=√3x和y=-√3x (x＞0) ,动点P在∠AOB的内部,过点P分别做PM⊥OA、PN⊥OB,垂足分别为M、N,如果M、N分别在两条射线OA、OB上,且四边形OMPN的面积等于√3,求动点P的轨迹所在的曲线方程.

Answer 1

设P的坐标为（x,y),则
PM=|√3x -y|/2,PN=|√3x +y|/2,PO=√（x^2+y^2）
由此得：
OM=√（x^2+3y^2+2√3x y）/2=|x+√3y|/2
ON=√（x^2+3y^2-2√3x y）/2=|x-√3y|/2
因为四边形OMPN的面积等于√3
所以OM*PM+ON*PN=2√3
所以|x+√3y|*|√3x -y|/4+|x-√3y|*|√3x +y|/4=2√3
因为动点P在∠AOB的内部,且射线OA、OB的方程分别为：y=√3x和y=-√3x (x＞0)
所以有：-√3x即：√3x +y>0,√3x -y>0,
设射线OC:y=(√3/3)x(x>0),射线OD:y=-(√3/3)x(x>0)
当动点P在∠COD内部时,有：-(√3/3)x0,x-√3y>0
此时动点P的轨迹所在的曲线方程为：
x^2-y^2=4(-(√3/3)x0)
当动点P在∠COD外部时,有：
x+√3y<0,x-√3y<0
此时动点P的轨迹所在的曲线方程为：
y^2-x^2=4 (-√3x< y0或(√3/3)x0)