设P为给定的凸n边形内部或边上的点,设函数f(p)=p到所有顶点的距离之和.求证：f(p)的最大值可以在p为某个顶点取到.我郁闷啊.完全没思路啊..要用向量来解.我目测是要用反证法来证明.

Question

设P为给定的凸n边形内部或边上的点,设函数f(p)=p到所有顶点的距离之和.
求证：f(p)的最大值可以在p为某个顶点取到.
我郁闷啊.完全没思路啊..
要用向量来解.我目测是要用反证法来证明.

Answer 1

设A为定点,P1P2为一线段端点,Q为线段P1P2上的一点.设QP1/P2P1=L（标量）,则0<L<1,向量AQ=L*向量AP1+(1-L)*向量AP2,两边取模,由三角不等式,得如下不等式：|AQ|<=|L*AP1|+|(1-L)*AP2|=L*|AP1|+(1-L)*|AP2|.

这样推广一下,设有一组顶点A(1),...,A(n),同样地设线段P1P2和上面一点Q,设QP1/P2P1=L在0和1之间,则对任意i,有|A(i)Q|<=L*|A(i)P1|+(1-L)*|A(i)P2|.对i求和,得f(Q)<=L*f(P1)+(1-L)*f(P2).

这个式子的意义,就是说,对线段P1P2上的一点Q,f(Q)不可能同时大于f(P1)和f(P2).这个结论用反证法很好证明.有了这个式子,本命题就很好证明了.

上述的证明还没用到n边形的凸性,但是下面的证明就会用到了.

（1）若f(P)最大值的点P在内部,则A(1)P延长交至某边A(i)A(i+1)上的Q.因为n边形是凸的,因此上述操作可行,这点非常重要.因为P在线段A(1)Q上,所以f(P)不能同时大于f(A(1))和f(Q).同理地,f(Q)不能同时大于f(A(i))和f(A(i+1)).综合来说,f(P)不能同时大于f(A(1)),f(A(i))和f(A(i+1)),因此矛盾.

（2）若f(P)最大值在某边A(i)A(i+1)上,那自然有f(P)不能同时大于f(A(i))和f(A(i+1)),命题也自然得证.

所以,f(P)最大值一定可以在某顶点取到.