如果自然数X1+X2+X3+X4+X5=X1*X2*X3*X4*X5,那么X5的最大值是

Question

如果自然数X1+X2+X3+X4+X5=X1*X2*X3*X4*X5,那么X5的最大值是

Answer 1

不妨设1≤x1≤x2≤x3≤x4≤x5
设x1+x2+x3+x4=a,x1x2x3x4=b
则a+x5=bx5
x5=a/(b-1)
可以看出,需使a/(b-1)尽量大
当x1=x2=x3=x4=1时,b-1=0,舍
当x1=x2=x3=1,x4=2时,x5=a/(b-1)=5,下证这时的a/(b-1)是最大的
对于某一组不全为1的x1,x2,x3,x4
若将其中某数(不妨设为x4)增大1
则a=x1+x2+x3+x4+1增大了1
b=x1x2x3(x4+1)=x1x2x3x4+x1x2x3,增大了x1x2x3,至少增大了1
而对于a/(b-1),其中a>b-1,有a+1/(b-1)+k(k≥1)≤(a+1)/b＜a/(b-1)
所以此时的a/(b-1)是最大的,即x5最大为5