如图,已知矩形ABCD的对角线AC与BD相交于O点,OF垂直于AD于点F,OF=3cm,AE垂直于BD于点E,且BE:ED=1:3,求AC的如图,已知矩形ABCD的对角线AC与BD相交于O点,OF垂直于AD于点F,OF=3cm,AE垂直于BD于点E，且BE:ED=1:3,求A

Question

如图,已知矩形ABCD的对角线AC与BD相交于O点,OF垂直于AD于点F,OF=3cm,AE垂直于BD于点E,且BE:ED=1:3,求AC的
如图,已知矩形ABCD的对角线AC与BD相交于O点,OF垂直于AD于点F,OF=3cm,AE垂直于BD于点E，且BE:ED=1:3,求AC的长。

Answer 1

因为BF:ED=1:3,所以BE=1/4BD=1/2BO,所以BE=EO
又因为AE⊥BD,所以△ABO是等腰三角形,所以AB=AO,∠AEB=∠AEO=90°,
因为在矩形ABCD中,所以AO=BO,所以AO=BO=AB,所以△ABO是正三角形
所以∠BAO=60°,所以∠BAE=∠OAE=30°,
所以∠OAF=∠BAF-∠BAE-∠OAE=90°-2×30°=30°,
所以∠OAF=∠BAE=∠OAE,又因为OF⊥AD,所以∠AFO=∠DFO=90°
在△ABE和△AOF中,
因为：∠AEB=∠AFO,∠ABE=∠AOF,AB=AO,
所以△ABE≌△AOF（AAS）,所以BE=OF=3cm
所以BD=4BE=4×3=12cm,所以AC=BD=12cm