数学帝!解析几何!救我啊!谢谢点(1.51)在椭圆Q:Y平方/a平方+X方/b方=1(a大于b大于0)上,椭圆的e=0.5求：若直线l于直线AB:y=-4的夹角的正切值为2,且椭圆Q上的动点M到直线l的距离的最小值为根号5,求

Question

数学帝!解析几何!救我啊!谢谢
点(1.5 1)在椭圆Q:Y平方/a平方+X方/b方=1(a大于b大于0)上,椭圆的e=0.5 求：若直线l于直线AB:y=-4的夹角的正切值为2,且椭圆Q上的动点M到直线l的距离的最小值为根号5,求直线l的方程.

Answer 1

a>b>0
e=0.5=√(a²-b²)/a得4(a²-b²)=a² 3a²=4b²①
再代入点(1.5,1)得
1/a²+9/4b²=1②
①②得1/a²+9/3a²=1 a²=4 a=2 b=√3
椭圆方程为Y²/4+X²/3=1③
直线L与‖于X轴的直线AB的夹角正切值为2.则这个角有两种可能：分别是与X轴成α角且使tanα=2或者tan(180°-α)=2 即tanα=-2
1.当L的斜率为2时设Y=2X+C④
Q上的动点M到L的距离为：|Y-2X-C|/√(1²+2²)⑤
⑤中的点为③的点
设X=√3sina,Y=2cosa 代入⑤得
|2cosa-2√3sina-C|/√5有最小值√5
即|2cosa-2√3sina-C|有最小值5 【a∈[0,2π]】
=|2(cosa-√3sina)-C|
=|4(cosa*sin30°-sina*cos30°)-C|
=|4sin(30°-a)-C|有最小值5
因为a∈[0,2π],30°-a∈[-11π/6,π/6]
sin(30°-a)的值域为[-1,1]
要使|t-C| t∈[-1,1]有最小值5,
那么当C为正数时,要使t取到1成立则可以取得最小值.代入
|4-C|=5 得C=9
当C为负数时,要使t取到-1成立才有最小值.代入
|-4-C|=5 得C=-1
同理再讨论斜率为负数,
即K=-2
L方程为Y=-2X+C同上
Q上的动点M到L的距离为：|Y+2X-C|/√(1²+2²)⑥
设X=√3sina,Y=2cosa 代入⑥得
|2cosa+2√3sina-C|/√5有最小值√5 【a∈[0,2π]】
=|2(cosa+√3sina)-C|
=|4(cosa*sin30°+sina*cos30°)-C|
=|4sin(30°+a)-C|有最小值5
因为a∈[0,2π],30°+a∈[π/6,13π/6,]
sin(30°+a)的值域为[-1,1]
要使|t-C| t∈[-1,1]有最小值5,
当C为正数时,要使t取到1成立则可以取得最小值.代入
|4-C|=5 得C=9
当C为负数时,要使t取到-1成立才有最小值.代入
|-4-C|=5 得C=-1
综上可知直线L的方程有四个：
Y=±2X-1 Y=±2X+9