（2014•闵行区一模）已知f（x）=x+1|x|．（1）指出的f（x）值域；（2）求函数f（x）对任意x∈[-2，-1]，不等式f（mx）+mf（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围．（3）若对任意正数a，在区间[1，a

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（2014•闵行区一模）已知f（x）=x+

|x|

．
（1）指出的f（x）值域；
（2）求函数f（x）对任意x∈[-2，-1]，不等式f（mx）+mf（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围．
（3）若对任意正数a，在区间[1，a+

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]内存在k+1个实数a₁，a₂，…，a_k+1使得不等式f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_k）＜f（a_k+1）成立，求k的最大值．

▼优质解答

答案和解析

（1）当x＞0时，f（x）=x+

|x|

=x+

≥2；
当x＜0时，f（x）=x+

|x|

=x-

∈R．
∴函数f（x）的值域为R；
（2）由题意知，m≠0，
当x∈[-2，-1]，函数f（x）=x-

，f′(x)=1+

＞0，
∴f（x）=x-

在[-2，-1]上为增函数，
①当m＞0时，由x∈[-2，-1]，得f（mx）+mf（x）=mx-

+mx-

=2mx-

m2+1

＜0恒成立，
即2m²x²-m²-1＞0恒成立，由于x∈[-2，-1]时，2x²-1＞0，也就是m2＞

2x2-1

恒成立，
而

2x2-1

在[-2，-1]上的最大值为1，因此，m＞1．
②当m＜0时，mx+

+mx-

=2mx+

1-m2

＜0，即2m²x²-m²+1＜0．
由于x∈[-2，-1]时，2x²-1＞0，不等式左边恒正，该式不成立．
综上所述，m＞1；
（3）取a=

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，则在区间[1，2

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]内存在k+1个符合要求的实数．
注意到[1，2

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]⊆[1，a+

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]．
故只需考虑在[1，2