已知函数f(x)=2cosxsin(x+π/6)-sin²x+cos²x,（1）求函数f(x)的单调递增区间；（2）当x∈[-π/12,π/6],求函数f(x)的最大值、最小值及相应的x值

Question

已知函数f(x)=2cosxsin(x+π/6)-sin²x+cos²x,
（1）求函数f(x)的单调递增区间；
（2）当x∈[-π/12,π/6],求函数f(x)的最大值、最小值及相应的x值

Answer 1

2cosxsin(x+π/6)-sin²x+cos²x
=2cosx﹙sinxcosπ/6+cosxsinπ/6﹚+cos2x
=√3cosxsinx＋cos²x+cos2x
=√3sin2x／2＋﹙cos2x+1﹚／2+cos2x
=√3sin2x／2＋3cos2x／2+1／2
=√3(sin2x／2＋√3cos2x／2﹚+1／2
=√3(sin﹙2x＋π／3﹚+1／2
∵2x＋π／3∈[2kπ-π／2,2kπ+π／2],k∈Z时,f(x)递增
∴函数f(x)的单调递增区间是[kπ-5π／12,kπ+π／12],k∈Z
当x∈[-π/12,π/6],2x＋π／3∈[π／6,2π／3]
∴当2x＋π／3=π／2即x=π／12时,f(x)的最大值是√3＋1／2；
当2x＋π／3=π／6即x=﹣π／12时,f(x)的最小值是√3／2＋1／2.