如图扇形OAPB是半径为2的O的一部分，点P是弧AB上一点，PM⊥AO，PN⊥BO，垂足分别为M、N，且∠AOB=120°．（1）当点P为AB的中点时，求线段MN的长度．（2）当点P为AB上一动点时，不与点A、B重合

Question

如图扇形OAPB是半径为2的 O的一部分，点P是弧AB上一点，PM⊥AO，PN⊥BO，垂足分别为M、N，且∠AOB=120°．

（1）当点P为

AB

的中点时，求线段MN的长度．
（2）当点P为

AB

上一动点时，不与点A、B重合，判断线段MN的长度是否为定值．

Answer 1

（1）如图1，延长PM，PN分别交 O于E，F，连接PO，
∵PM⊥AO，PN⊥BO，
∴∠PMO=∠PNO=90°，
∵∠AOB=120°，
∴∠MPN=60°，
∵点P为

AB

的中点，
∴∠POM=∠PON，
在△POM与△PON中，

∠PMO=∠PNO

∠POM=∠PON

OP=OP

，
∴△PMO≌△PNO，
∴PM=PN，
∵PM⊥AO，PN⊥BO，
∴PE=2PM，PF=2PN，
∴PE=PF，
∴△PEF是等边三角形，
∴PE=EF，
∵OP=2，
∴PM=PN=√(3)，
∴EF=2√(3)，
∴MN=(1)/(2)EF=√(3)；

（2）延长PM，PN交 O于Q，S，
∵PM⊥AO，PN⊥BO，
∴PM=QM，PN=NS，
∵OP=OQ=OS，
∴∠POA=∠QOA，∠PON=∠SON，
∴∠QOS=120°，
过O作OK⊥QS于K，
∴∠QOK=60°，QK=SK，∴QK=(√(3))/(2)OQ=√(3)，
∴QS=2√(3)，
∴MN=(1)/(2)QS=√(3)（定值），
∴MN的长度是定值．