如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1＝2，M是线段B1D1的中点．（Ⅰ）求证：BM∥平面D1AC；（Ⅱ）求证：D1O⊥平面AB1C．

Question

如图所示的长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1＝√(2)，M是线段B₁D₁的中点．
（Ⅰ）求证：BM∥平面D₁AC；
（Ⅱ）求证：D₁O⊥平面AB₁C．

Answer 1

（Ⅰ）连接D₁O，如图，
∵O、M分别是BD、B₁D₁的中点，BDD₁B₁是矩形，
∴四边形D₁OBM是平行四边形，∴D₁O∥BM．（3分）
∵D₁O⊂平面D₁AC，BM⊄平面D₁AC，
∴BM∥平面D₁AC．（7分）
（Ⅱ）连接OB₁，∵正方形ABCD的边长为2，BB1＝√(2)，
∴B1D1＝2√(2)，OB₁=2，D₁O=2，
则OB₁²+D₁O²=B₁D₁²，∴OB₁⊥D₁O．（10分）
∵在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC⊥BD，AC⊥D₁D，
∴AC⊥平面BDD₁B₁，又D₁O⊂平面BDD₁B₁，
∴AC⊥D₁O，又AC∩OB₁=O，
∴D₁O⊥平面AB₁C．（14分）