已知函数f(x)=1/3x³+ax²-bx(a,b∈R).若y=f(x)图像上的点（1,-11/3）处的切线斜率为-4,求y=f(x)的极大值.

Question

已知函数f(x)=1/3x³+ax²-bx(a,b∈R).若y=f(x)图像上的点（1,-11/3）处的切线斜率为-4,求y=f(x)的极大值.

Answer 1

f＇(x)=x²+2ax-b
∵y=f(x)图像上的点（1,-11/3）处的切线斜率为-4
∴f＇(1)=1+2a-b=-4 (1)
f(1)=1/3+a-b=-11/3(2) 联立（1）（2）两式解得
a=-1 b=3
∴f＇(x)=x²-2x-3=(x-3)(x+1)
当f＇(x)＝0时,x=3或x=-1
∴当x＞3或x＜-1时,f＇(x)＞0 f(x)为递增函数
当-1＜x＜3时f＇(x)＜0 f(x)为递减函数
则f(x)在x=-1上有最大值,最大值为f(-1)=-1/3+a+b=-1/3-1+3=5/3