设y=f(x)在x0点的某邻域内存在三节连续导数,且limx→0f(x)/(x-x0)^3=1,则A.f(x0)是f(x)极大值B.f(x0)是f(x)极小值C.f'(x0)是f'(x)极大值D.(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的拐点

Question

设y=f(x)在x0点的某邻域内存在三节连续导数,且limx→0 f(x)/(x-x0)^3=1,
则
A.f(x0)是f(x)极大值
B.f(x0)是f(x)极小值
C.f'(x0)是f'(x)极大值
D.(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的拐点

Answer 1

f(x)在x0的邻域内泰勒展开,有：
y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f"(x0)(x-x0)^2/2!+f"'(x0)(x-x0)^3/3!+.
因为f'(x0)=f"(x0)=0,所以
y=f(x0)+f"'(x0)(x-x0)^3/3!+.
当x=x0+h时,y-f(x0)≈ f"'(x0) *h^3/3!
当x=x0-h时,y-f(x0)≈-f"'(x0)* h^3/3!
因为f"'(x0)不为0,所以上述x0左右邻域内y-f(x0)的符号是相反的,所以f(x0)不可能是极值点.
选D