如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．（1）求证：△ACE∽△BFC；（2）试探究AF、BF、EF之间有何数量

Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．

（1）求证：△ACE∽△BFC；
（2）试探究AF、BF、EF之间有何数量关系？说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∵∠CFB=∠ACF+∠A=∠ACF+45°，
∠ACE=∠ACF+∠ECF=∠ACF+45°，
∴∠CFB=∠ACE，
∴△ACE∽△BFC；
（2） EF²=AF²+BE²，理由如下：
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠ABC=45°，
将△ACF顺时针旋转90°至△BCD，如图所示：
则CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°，BD=AF，
∵∠2=45°，
∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，
∴∠DCE=∠2，
在△ECF和△ECD中，

CF=CD

∠2=∠DCE

CE=CE

，
∴△ECF≌△ECD（SAS），
∴EF=DE，
∵∠5=45°，
∴∠EBD=90°，
∴DE²=BD²+BE²，
即EF²=AF²+BE²．