已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x),满足f(mn)=f(m)+f(n),且当x>1时,f(x)

Question

已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x),满足f(mn)=f(m)+f(n),且当x>1时,f(x)

Answer 1

（一）由题设,令m=n=1,则有f(1)=f(1)+f(1).∴f(1)=0.(二）可设0＜m＜n.则n/m＞1,∴f(n/m)＜0.一方面,0=f(1)=f[m×(1/m)]=f(m)+f(1/m).==>f(1/m)=-f(m).另一方面,0＞f(n/m)=f(n)+f(1/m)=f(n)-f(m).===>f(m)＞f(n).就是说,若0＜m＜n,则f(m)＞f(n).∴由单调性定义可知,在(0,+∞)上,函数f(x)递减.（三）∵f(3)=-1,∴f(9)=f(3×3)=f(3)+f(3)=-2.又f(1/(x-2))=-f(x-2).∴原不等式可化为f[x(x-2)]＜f(9).由此可得：x＞0,且x-2＞0,且x(x-2)＞9.==>x＞2,且x²-2x+1＞10,===>(x-1)²＞10.===>x＞(√10)-1.且x＞2.综上可知,原不等式的解为(√10-1,+∞).