高数 设数列{xn}的一般项sn=1/n cos (npai)/2,求出N 使得当n>N时,xn与其极限之差小于证书E,当E等于0.001设数列{xn}的一般项sn=1/n cos (npai)/2,求出N 使得当n>N时,xn与其极限之差小于证书E,当E等于0.001时,求

Question

高数 设数列{xn}的一般项sn=1/n cos (npai)/2,求出N 使得当n>N时,xn与其极限之差小于证书E,当E等于0.001
设数列{xn}的一般项sn=1/n cos (npai)/2,求出N 使得当n>N时,xn与其极限之差小于证书E,当E等于0.001时,求出数N

Answer 1

0 ≤ |xn| = |cos (nπ/2)| / n ≤ 1/n,
由夹逼定理知,lim |xn| = 0,显然lim xn也为0.对任意ε>0,可知当
|cos(nπ/2)|/n < ε时,|xn - 0| < ε.
当n变化时,cos(nπ/2)只能为1,0,-1,0.若ε = 0.001,则可知若n > 1000,则必有
|cos(nπ/2)|/n < 1/1000 < ε.
另一方面,若n = 1000,则|cos(nπ/2)|/n = 1/1000 = ε.不满足|xn - 0|< ε.因此所求的最小正整数N应为1000.当n > N = 1000时,|xn - 0| < ε = 0.001.