证明当x=1/n,f(x)=1;当x不等于1/n,f(x)=0；此函数可积（x在0-1之间）,且f(x)从0-1的积分等于0

Question

证明当x=1/n,f(x)=1;当x不等于1/n,f(x)=0；此函数可积（x在0-1之间）,且f(x)从0-1的积分等于0

Answer 1

对任意ε > 0, 当0,1的分划的直径 < ε/2时, 我们证明其Riemann和 < ε, 同时 ≥ 0.
实际上, 包含x = 1/n的区间至多有两个, 总长 ≤ 2倍的直径 < ε.
又f(x) ≤ 1, 可知包含1/n的区间上的Riemann和 < ε.
余下的区间上函数值恒为0, 故整体的Riemann和 < ε.
而由函数值非负, 易得Riemann和 ≥ 0.
因此, 当分划的直径趋于0, 有Riemann和收敛到0, 即f(x)在[0,1]上Riemann可积, 且积分为0.