设关于X的一元二次方程x^-2ax+a+6=0的两个实数根为x1和x2,求代数式M=（X1-1)^+(X2-1)^的值的范围

Question

设关于X的一元二次方程x^-2ax+a+6=0的两个实数根为x1和x2,求代数式M=（X1-1)^+(X2-1)^的值的范围

Answer 1

原方程有实数根,所以
△=（-2a）^2-4(a+6)≥0解不等式得
a≤-2或a≥3
由韦达定理有
x1+x2=2a
x1*x2=a+6
所以M=（X1-1)^+(X2-1)^
=（x1^-2x1+1）+（x2^-2x2+1）
=(x1^+x2^)-2(x1+x2)+2
=[(x1+x2)^-2 x1*x2]-2(x1+x2)+2
=[(2a)^-2 (a+6)]-2*(2a)+2
=4a^-6a-10
可见M是一个关于a的二次函数,其定义域为a≤-2或a≥3,
当a=3时M取得最小值8,所以所求代数式M的取值范围为[8,+∞）