二次分式最值已知x+y-3xy+5=0.求xy的最小值和x+y的最小值.我只能做到y=x+5/3x-1,然后xy=x(x+5)/3x-1这个分式不会解了.分式应该怎么解呢?我们现在练的是用不等式求最值...

Question

二次分式最值
已知x+y-3xy+5=0.求xy的最小值和x+y的最小值.
我只能做到y=x+5/3x-1,然后xy=x(x+5)/3x-1这个分式不会解了.分式应该怎么解呢?我们现在练的是用不等式求最值...

Answer 1

分析,由x+y-3xy+5=0可知道：x+y=3xy-5
所以,xy的最小值直接决定了x+y的最小值!所以,我们下面只做xy的最小值!
由x+y-3xy+5=0有,y=（x+5）/（3x-1）
我们知道
xy=(x^2+5x)/(3x-1)
我们来研究一下 (x^+5x)/(3x-1)
(x^2+5x)/(3x-1)=[(x/3)*(3x-1)+5x+(x/3)]/(3x-1)
=(x/3)+(16x/3)/(3x-1)
=(x/3)+(16/9)/(3x-1)+16/9
=[(3x-1)/9]+[(16/9)/(3x-1)]+17/9
>=2*4/9+17/9=25/9
所以xy的最小值为 25/9
当然,这里楼主的条件没说完!首先x,y都要是正数!
关于楼主的问题
分式应该怎么解呢?
诚如上面所解,关键在于拼凑!
分母含有x的多项式的话,就想办法拼出一个跟分母相乘能约去x的多项式的项来!