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定理:三角形的外心O、重心G、垂心H依次在同一条直线(欧拉线)上,且OG=13OH,其中外心O是三条边的中垂线的交点,重心G是三条边的中线的交点,垂心H是三条高的交点.如图,在△ABC中,
题目详情
定理:三角形的外心O、重心G、垂心H依次在同一条直线(欧拉线)上,且
=
,其中外心O是三条边的中垂线的交点,重心G是三条边的中线的交点,垂心H是三条高的交点.如图,在△ABC中,AB>AC,AB>BC,M是边BC的中点,AH⊥BC(N是垂足),O是外心,G是重心,H是垂心,OM=1,则根据定理可求得
•
的最大值是
.
OG |
1 |
3 |
OH |
OG |
HN |
1 |
12 |
1 |
12 |
▼优质解答
答案和解析
以M为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图所示:
∵OM=1,故O点的坐标为(0,1)
设A点坐标为(3x,3y),则N点坐标为(3x,0),
∵△ABC中,AB>AC,故x>0,y>0
由G为△ABC的重心,故G点坐标为(x,y)
则
=(x,y-1)
又∵
=
,
∴
=(3x,3y-3),故H点的坐标是(3x,3y-2)
则
=(0,2-3y)
则
•
=(x,y-1)(0,2-3y)=-3y2+5y-2
故当y=
时,
∵OM=1,故O点的坐标为(0,1)
设A点坐标为(3x,3y),则N点坐标为(3x,0),
∵△ABC中,AB>AC,故x>0,y>0
由G为△ABC的重心,故G点坐标为(x,y)
则
OG |
又∵
OG |
1 |
3 |
OH |
∴
OH |
则
HN |
则
OG |
HN |
故当y=
5 |
6 |
作业帮用户
2017-10-08
举报
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