一道“超难”数学题 已知三角形ABC中,BC>AC,CH是AB上的高,且AC^2/BC^2=AH/BH.试证∠A+∠B=90°或∠A-∠B=90°.【图自备】13256447050这题 图本来就要自己画 要是图画出来

Question

一道“超难”数学题
已知三角形ABC中,BC>AC,CH是AB上的高,且AC^2/BC^2=AH/BH.试证∠A+∠B=90°或∠A-∠B=90°.
【图自备】
13256447050
这题 图本来就要自己画 要是图画出来

Answer 1

解析：1)当A角为锐角时,
∵cosA=AH/AC,cosB=BH/BC
∴cosA/cosB=AH*BC/BH*AC
AC^2/BC^2=AH/BH
∴cosA/cosB=AC^2/BC^2*BC/AC=AC/BC
又∵BC/sinA=AC/sinB,即AC/BC=sinB/sinA,
∴cosA/cosB=sinB/sinA
sinAcosA=sinBcosB
sin2A=sin2B
∵BC＞AC,∴∠A＞∠B
2A=180°-2B
即A=90°-B
∴∠A+∠B=90°
2）当A角为钝角时,
∵cosA=-AH/AC,cosB=BH/BC
∴cosA/cosB=-AH*BC/BH*AC
AC^2/BC^2=AH/BH
∴cosA/cosB=-AC^2/BC^2*BC/AC=-AC/BC
又∵BC/sinA=AC/sinB,即AC/BC=sinB/sinA,
∴-cosA/cosB=sinB/sinA
-sinAcosA=sinBcosB
-sin2A=sin2B
sin2A=-sin2B=sin(180+2B)
即2A=180°+2B
∴∠A-∠B=90°