已知函数f(x)=根号x,g(x)=alnx,a属于R,若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求切线方程

Question

已知函数f(x)=根号x,g(x)=alnx,a属于R,若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,
求切线方程

Answer 1

1.因为两曲线在交点处有相同切线,所以两函数在交点处的导数相等
f’(x)=1/2根号下x ,g’(x)=a/x
令f’(x)=g’(x)得 a=（根号下x）/2,代入原函数,令f(x)=g(x)解得x=e^2
所以交点坐标为（e^2,e）
该点导数即斜率为1/（2e）
切线：y-e=1/（2e）·（x-e^2）
即 y=1/（2e）·x+e/2
2.对h(x)求导,令h’(x)=0解得x=4a^2
所以当x0,函数h(x)单调递增
所以,在x=4a^2处h(x)取得最小值
代入求得q(x) =2a【1-ln（2a）】
这里,在求h(x)存在最小值时要注意a的范围,若a