求函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c,过曲线y=f(x)上的点P(1,f(1))的切线方程为为y=3x+1 （1)若y=f(x)在x=-2时有极值,求f(x)的表达式 （2）在（1）的条件下,求y=f(x)在【-3,1】上的最大值 （3）若函数y=f(x)在区间【-2,1

Question

求函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c,过曲线y=f(x)上的点P(1,f(1))的切线方程为为y=3x+1 （1)若y=f(x)在x=-2时有极值,求f(x)的表达式 （2）在（1）的条件下,求y=f(x)在【-3,1】上的最大值 （3）若函数y=f(x)在区间【-2,1】上单调递增,求b的取值范围

Answer 1

1)求导函数f'(x)=3x^2+2ax+b
由题意:3*1^2+2*1*a+b=3 (Ⅰ)
3*(-2)^2-2*2*a+b=0
则 a=2 b= -4
又p点(1,4),代入函数得:c=5
故f(x)=x^3+2x^2-4x+5
2)导函数f'(x)=3x^2+4x-4
令f'(x)=0得:
x1=-2 x2=2/3
将极值点和两个端点依次代入函数知最大值13
3)欲单调递增,需导函数再此区间上的值恒大于等于0
f'(x)=3x^2+2ax+b
由(Ⅰ)知f'(x)=3x^2-bx+b
对称轴x=b/6
当b/6≤-3时,f'(-3)≥0 得:x无解
当-3＜b/6≤1时,(b-b^2/12)≥0 得:0≤b≤6
当b/6＞1时,f'(1)≥0 得 :b＞6
综上:b≥0