已知函数f（x）=alnxx+1+bx,曲线y=f（x）在点（1,f（1））处的切线方程为x+2y-3=0．（Ⅰ）求a、b的已知函数f（x）=alnxx+1+bx,曲线y=f（x）在点（1,f（1））处的切线方程为x+2y-3=0．（Ⅰ）求a、b

Question

已知函数f（x）=alnx x+1 +b x ,曲线y=f（x）在点（1,f（1））处的切线方程为x+2y-3=0． （Ⅰ）求a、b的
已知函数f（x）=alnx
x+1
+
b
x
,曲线y=f（x）在点（1,f（1））处的切线方程为x+2y-3=0．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）证明：当x＞0,且x≠1时,f（x）＞
lnx
x-1 ．
1111111就把你就会比较好不过还不

Answer 1

：（Ⅰ）f′(x)=
a(1-x)x(x＞0)（2分）
当a＞0时,f（x）的单调增区间为（0,1],减区间为[1,+∞）；
当a＜0时,f（x）的单调增区间为[1,+∞）,减区间为（0,1]；
当a=0时,f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）f′(2)=-
a2=1得a=-2,f（x）=-2lnx+2x-3
∴g(x)=x3+(
m2+2)x2-2x,
∴g'（x）=3x2+（m+4）x-2（6分）
∵g（x）在区间（t,3）上总不是单调函数,且g′（0）=-2
∴g′(t)＜0g′(3)＞0​(8分)
由题意知：对于任意的t∈[1,2],g′（t）＜0恒成立,
所以有：g′(1)＜0g′(2)＜0g′(3)＞0​,∴-
373＜m＜-9（10分）
（Ⅲ）令a=-1此时f（x）=-lnx+x-3,所以f（1）=-2,
由（Ⅰ）知f（x）=-lnx+x-3在（1,+∞）上单调递增,
∴当x∈（1,+∞）时f（x）＞f（1）,即-lnx+x-1＞0,
∴lnx＜x-1对一切x∈（1,+∞）成立,（12分）
∵n≥2,n∈N*,则有0＜lnn＜n-1,
∴0＜
lnnn＜
n-1n
∴ln22•
ln33•
ln44••
lnnn＜
12•
23•
34••
n-1n=
1n(n≥2,n∈N*)