已知函数f（x）=alnx/(x+1)+b/x,曲线y=f（x）在点（1,f（1））处的切线方程为x+2y-3=0,（1）求a,b的已知函数f（x）=alnx/(x+1)+b/x,曲线y=f（x）在点（1,f（1））处的切线方程为x+2y-3=0,（1）求a,b的值；

Question

已知函数f（x）=alnx/(x+1) +b/x,曲线y= f（x）在点（1,f（1））处的切线方程为x+2y-3=0,（1）求a,b的
已知函数f（x）=alnx/(x+1) +b/x,曲线y= f（x）在点（1,f（1））处的切线方程为x+2y-3=0,
（1）求a,b的值；
（2）已知函数x>0且x≠1时,f（x）> lnx/(x-1) +k/x成立,则k的取值范围是?

Answer 1

(1)

切线方程变形为 y=(-1/2)x+3/2,

可见斜率k=-1/2, f(1)=1

f(x)=alnx/(x+1)+b/x,

f'(x)=[a(x+1)/x-alnx]/(x+1)^2-b/x^2

已知k=f'(1)=(2a)/4-b=-1/2   即a-2b=-1     (*)

f(1)=b=1           

代入(*)得   a=1

∴f(x)=lnx/(x+1)+1/x

(2)

由（1）知f(x)=lnx /(x+1) +1/ x ,所以

f(x)-(lnx/x-1+k/ x )=1 /1-x2 (2lnx+(k-1)(x2-1)/x）

考虑函数h(x)=2lnx+(k-1)(x2-1) /x （x＞0）,则

h′(x)=(k-1)(x2+1)+2x /x2

（i）设k≤0,由h′(x)=k(x2+1)- (x-1)2 /x^知,当x≠1时,h′（x）＜0．而h（1）=0,故

当x∈（0,1）时,h′（x）＜0,可得1 /1-x2 h(x)＞0；

当x∈（1,+∞）时,h′（x）＜0,可得1 /1-x2 h（x）＞0

从而当x＞0,且x≠1时,f（x）-（lnx/ x-1 +k /x ）＞0,即f（x）＞lnx/ x-1 +k /x ．

（ii）设0＜k＜1．由于当x∈（1,1 /1-k ）时,（k-1）（x2+1）+2x＞0,故h′（x）＞0,而

h（1）=0,故当x∈（1,1 /1-k ）时,h（x）＞0,可得1 /1-x^ h（x）＜0,与题设矛盾．

（iii）设k≥1．此时h′（x）＞0,而h（1）=0,故当x∈（1,+∞）时,h（x）＞0,可得1 /1-x^ h（x）＜0,与题设矛盾．

综合得,k的取值范围为（-∞,0]