如图,平面直角坐标系中,点A的坐标为(-1,0)点P从原点O,沿x轴正方向以每秒1个单位长度运动运动,抛物线y=1/2x²+bx+c经过A,P两点,与y轴交于点C,与直线x=3交于点D,设直线x=3与x轴交于点B,点P的运动

Question

如图,平面直角坐标系中,点A的坐标为(-1,0)点P从原点O,沿x轴正方向以每秒1个单位长度运动
运动,抛物线y=1/2x²+bx+c经过A,P两点,与y轴交于点C,与直线x=3交于点D,设直线x=3与x轴交于点B,点P的运动时间为t秒(t≥0）
（1）填空：线段PA的长为——点C的坐标为——（用含t的代数式表示）
（2）若tan角DAP=1/2求直线CP的解析式.
（3）如图2所示,作点D关于点B的对称点D',在P的运动过程中,是否存在以P,C,D'为顶点的三角形与△OCP相似,求出此时t的值

Answer 1

⑴抛物线可表示为：Y=1/2(X+1)(X-t)=1/2X^2+1/2(1-t)X-1/2t,
PA=1+t,C(0,-1/2t).
⑵当X=3时,Y=1/2(3+1)(3-t)=6-2t,BD=6-2t,AB=4,
tan∠DAP=BD/AB=1/2,∴BD=2,6-2t=2,t=2,
∴D(3,2),C(0,-1),易得：直线CP：Y=X-1.
⑶D'(3,2t-6),∠CPD=90°∠OPC=∠PCD' ,
则CD'∥X轴,OC=BD',-1/2t=2t-6,t=2.4.
当∠OCP=∠PCD '时,不存在.
∴t=2.4.